1.1 线性方程组
包含变量$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的线性方程是形如：
的方程，其中$b$与系数$a_1,a_2\cdots,a_n$是实数或复数，通常是已知数.下标$n$可以是任意正整数.
方程
都是线性方程。
方程
都不是线性方程。
线程方程组是由一个或几个包含相同变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$的线性方程组成的.例如：
线性方程组的解是一组数$(s_1,s_2,\cdots,s_n)$，用这组数分别代替$x_1,x_2,\cdots,x_n$时所有方程组的两边相等。
方程组所有可能的解的集合称为线程方程组的解集.若两个线程方程组有相同的解集，则这两个线性方程组称为等价的.
线性方程组的解有以下三种情况：
- 无解.
- 有唯一解.
- 有无穷多解.
若方程组有一个解或无穷多解，则称为线性方程组是相容的；若其无解，则称为是不相容的.
矩阵记号
一个线性方程组包含的主要信息可以用一个称为矩阵的紧凑的矩形阵列表示.给出方程组：
把每一个变量的系数写在对齐的一列中，矩阵：
称为方程组（3）的系数矩阵，而
称为它的增广矩阵.方程组的增广矩阵是把它的系数矩阵添上一列所得，这一列是由方程组右边的常数组成的.
矩阵的维数说明它包含的行数和列数.上面的增广矩阵（4）有3行4列，称为$3\times4$（读作3行4列）矩阵.若$m,n$是正整数，$m\times n$矩阵是一个有m行n列的数的矩形阵列.
解线性方程组
解方程组的一般方法：把方程组用一个更容易解的等价方程组代替。可以用方程组中第一个方程中含$x_1$的项消去其他方程中含有$x_1$的项.然后用第二个方程组中含有$x_2$的项消去其他方程中含$x_2$的项，以此类推。最后得到一个很简单的等价方程组。
用来化简线程方程组的三种基本变换是：把某个方程换成它与另一方程的倍数的和；交换两个方程的位置；把某一方程的所有项乘以一个非零常数。
例1 解方程组（3）
保留第一个方程中的$x_1$，把其他方程中的$x_1$消去.为此，把第一个方程乘以-5，加到第三个方程上得到：
其次，把方程2乘以$\frac{1}{2}$，使得$x_2$的系数变为1
利用方程2中的$x_2$项消去方程3中的$10x_2$：
现在，将方程3乘以$\frac{1}{30}$以得到1作为$x_3$的系数。
现在想消去第一个方程中的$-2x_2$，不过先利用方程3中的$x_3$消去第一个方程中的项$x_3$和第二个方程中的项$-4x_3$更为有效。
现在，在方程3中$x_3$的一列中只剩下一项，回头来用第二个方程的$x_2$项消去它上面的$-2x_2$项.得到方程组：
即
可以得出结果：原方程组的唯一解是$(1,0,-1)$.
例1说明了线程方程的变换对应于增广矩阵的行变换.前面所述的三种基本变换对应于增广矩阵的下列变换.
初等行变换
- （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和.
- （对称变换）把两行对换.
- （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数.
行变换可施行于任何矩阵，不仅仅是对于线性方程组的增广矩阵.若其中一个矩阵可以经一系列初等行变换成另一个矩阵，则称两个矩阵为行等价.
行变换是可逆的，若两行被对换，则再次对换它们就会还原为原来的状态；若某行乘以非零常数$c$，则将所得的行乘以$\frac{1}{c}$就得出原来的行；最后，考虑涉及两行的倍加变换，例如第一行和第二行.假设把第一行的$c$倍加到第二行得到新的第二行，那么“逆”变换就是把第一行的$-c$倍加到新的第二行上就得到原来的第二行.
此时，更加关注于对一个线程方程组的增广矩阵进行行变换.假设一个线程方程组经过行变换成另外一个新的方程组，考虑每一种行变换，容易看出，原方程组的任何一个解仍是新的方程组的一个解.反之，因原方程组也可由新方程组经行变换得出，故新方程组的每个解也是原方程组的解.这也就证实了：
若两个线程方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集.
存在与唯一性问题
为确定某个线性方程组的解集属于哪种情况，需要提出以下两个问题.
线性方程组的两个基本问题
- 方程组是否相容，即它是否至少有一个解?
- 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一?
例2 确定下列方程组是否有解：
将方程组通过行变换变成三角形
这时已经确定了$x_3$，若把$x_3$的值带入方程2，就会确定$x_2$，因而可由方程1确定$x_1$，所以解是存在的，即方程组是相容的.（因为$x_3$只有一个可能的值，所以$x_2$由方程2唯一确定，而$x_1$由方程1唯一确定，所以解是唯一的.）
例3 确定下列方程组是否有解：
增广矩阵为：
为从第一个方程得到$x_1$，对换第一行和第二行：
为消去第三个方程的$4x_1$，把第一行的-2倍加到第三行：
接下来用第二个方程的$x_2$项消去第三个方程的$-2x_2$项，把第二行的2倍加到第三行上：
现在增广矩阵已成为三角形式.为理解这个矩阵，将其转化为方程表示：
方程$0=15$是$0x_1+0x_2+0x_3=15$的简写.这个三角形线性方程组显然是矛盾的，所以满足（8）的未知数$x_1,x_2,x_3$的值是不可能存在的，因等式$0=15$不可能成立。由于（8）和（5）有同样的解集，故原方程组是不相容的（即无解）.
