向量方程

1.3 向量方程

  线性方程组的重要性质都可用向量概念与符号来描述。

$\mathbb{R}^2$中的向量

  仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量.包含两个元素的向量如下所示.
        $u=\begin{bmatrix}
3 \\
-1 \\
\end{bmatrix}$，$v=\begin{bmatrix}
0.2 \\
0.3 \\
\end{bmatrix}$，$w=\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2 \\
\end{bmatrix}$
其中$w_1$和$w_2$是任意实数.所有两个元素的向量的集记为$\mathbb{R}^2$，$\mathbb{R}$表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素.
  $\mathbb{R}^2$中两个向量相等当且仅当其对应元素相等.因此，$\begin{bmatrix} 4\\ 7 \\ \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 7\\ 4 \\ \end{bmatrix}$是不相等的，因为$\mathbb{R}^2$中的向量是实数的有序对.

  给定$\mathbb{R}^2$中两个向量$u$和$v$，它们的和$u+v$是把$u$和$v$对应元素相加所得的向量.例如，
          $\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2\\ -2+5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 3 \\ \end{bmatrix}$
给定向量$u$和实数$c$，$u$与$c$的标量乘法（或数乘）是把$u$的每个元素乘以$c$，所得向量记为$cu$.例如：
      若$u=\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix},c=5,$则$cu=5\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 15\\ -5 \\ \end{bmatrix}$$cu$中的数$c$称为标量（或数）.
  向量加法与标量乘法也可以组合起来，如下例所示.

例1 给定$u=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ \end{bmatrix}$和$v=\begin{bmatrix} 2\\ -5 \\ \end{bmatrix}$，求$4u$，$(-3)v$以及$4u+(-3)v$
      $4u=\begin{bmatrix} 4\\ -8 \\ \end{bmatrix}$，$(-3)v=\begin{bmatrix} -6\\ 15 \\ \end{bmatrix}$ $4u+(-3)v=\begin{bmatrix} 4\\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6\\ 15 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\ 7 \\ \end{bmatrix} $
  有时为了方便，将向量$\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix}$写成$(3,-1)$的形式.这时，用圆括弧表示向量，并在两个元素之间加上逗号，以便区别向量$(3,-1)$与$1\times 2$行矩阵$[3\quad -1]$，后者使用方括号且两个元素之间无逗号.于是$\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix} \neq [3\quad -1]$因为这两个矩阵的维数不同，尽管它们有相同的元素.

$\mathbb{R}^2$的几何表示

  考虑平面上的直角坐标系.因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把几何点$(a,b)$与列向量$\begin{bmatrix} a\\ b \\ \end{bmatrix}$等同.因此可以把$\mathbb{R}^2$看作平面上所有点的集合.
  向量$\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix}$的几何表示是一条由原点$(0,0)$指向点$(3,-1)$的有向线段.

向量加法的平行四边形法则
若$\mathbb{R}^2$中向量$u$和$v$用平面上的点表示，则$u+v$对应于以$u,0$和$v$为三个顶点的平行四边形的第4个顶点.

$\mathbb{R}^3$中的向量

  $\mathbb{R}^3$中的向量是$3\times 1$列矩阵，有3个元素.它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头.

$\mathbb{R}^n$中的向量

  若$n$是正整数，则$\mathbb{R}^n$表示所有$n$个实数数列（或有序$n$元组）的集合，通常写成$n\times 1$列矩阵的形式，如：

$$u=\begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix}$$

  所有元素都是零的向量称为零向量，用0表示（0中元素的个数可由上下文确定）.
  $\mathbb{R}^n$中向量相等以及向量加法与标量乘法运算类似于$\mathbb{R}^2$中的定义.向量运算有下列性质，它们可直接由实数的相应性质证明.

$\mathbb{R}^n$中向量的代数性质
对$\mathbb{R}^n$中一切向量$u,v,w$以及标量$c$和$d$：
(Ⅰ) $u+v=v+u$
(Ⅱ) $(u+v)+w=u+(v+w)$
(Ⅲ) $u+0=0+u=u$
(Ⅳ) $u+(-u)=-u+u=0$
(Ⅴ) $c(u+v)=cu+cv$
(Ⅵ) $(c+d)u=cu+du$
(Ⅶ) $c(du)=(cd)u$
(Ⅷ) $1u=u$

线性组合

  给定$\mathbb{R}^n$中的向量$v_1,v_2,\cdots,v_p$和标量$c_1,c_2,\cdots,c_p$，向量：

$$y=c_1v_1+\cdots +c_pv_p$$

称为向量$v_1,v_2,\cdots,v_p$以$c_1,c_2,\cdots,c_p$为权的线性组合.线性组合中的权可为任意实数，包括零.

例2 设$a_1=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 2\\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 7\\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix}$，确定$b$能否写成$a_1$和$a_2$的线性组合，也就是说，确定是否存在权$x_1$和$x_2$使

$$x_1a_1+x_2a_2=b \tag{1}$$

若向量方程（1）有解，求它的解.
根据向量加法和标量乘法的定义有以下向量方程：

$$x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}$$

写成

$$\begin{bmatrix} x_1+2x_2 \\ -2x_1+5x_2 \\ -5x_1+6x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix} \tag{2}$$

（2）式左右两边的向量相等当且仅当它们的对应元素相等.即$x_1$和$x_2$满足向量方程（1）当且仅当$x_1$和$x_2$满足方程组

$$\left \{ \begin{array}{c} x_1+2x_2=7 \\ \tag{3} -2x_1+5x_2=4 \\ -5x_1+6x_2=-3 \end{array} \right.$$

可以用行化简算法将上述线性方程组的增广矩阵化简：
             $\begin{bmatrix}
1&2&7 \\
-2&5&4\\
-5&6&-3
\end{bmatrix} \backsim
\begin{bmatrix}
1&2&7 \\
0&9&18\\
0&16&32
\end{bmatrix} \backsim
\begin{bmatrix}
1&0&3 \\
0&1&2\\
0&0&0
\end{bmatrix}
$
（3）的解是$x_1=3,x_2=2$，因此$b$是$a_1$与$a_2$的线性组合，权为$x_1=3$和$x_2=2$，即

$$3\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}$$

可以将向量$a_1$，$a_2$和$b$进行行化简的增广矩阵列：

$$\begin{bmatrix} 1&2&7 \\ -2&5&4\\ -5&6&-3 \end{bmatrix}$$

为简洁起见，可以将此矩阵写成另外一种形式即：

$$\begin{bmatrix} a_1&a_2&b \end{bmatrix} \tag{4}$$

这样，由向量方程（1）可以直接写出增广矩阵而不必经过中间步骤.按照在（1）中出现的次序排列，就得到矩阵（4）.
  由上述讨论可以得到以下结论.

向量方程

$$x_1a_1+x_2a_2+\cdots +x_na_n=b$$

和增广矩阵为

$$\begin{bmatrix} a_1&a_2&\cdots &a_n&b \end{bmatrix} \tag{5}$$

的线性方程组有相同的解集.特别地，$b$可表示为$a_1,a_2,\cdots a_n$的线性组合当且仅当对应于（5）式的线性方程组有解.

  线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合$\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$的线性组合的所有向量.

定义 若$v_1,v_2,\cdots,v_p$是$\mathbb{R}^n$中的向量，则$v_1,v_2,\cdots,v_p$的所有线性组合所成的集合用记号$Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$表示，称为由$v_1,v_2,\cdots,v_p$所生成（或张成）的$\mathbb{R}^n$的子集.
$Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$是有所形如

$$c_1v_1+c_2v_2+\cdots +c_pv_p$$

的向量的集合，其中$c_1,c_2,\cdots,c_p$为标量.

  要判断向量$b$是否属于$Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$,就是判断向量方程

$$x_1v_1+x_2v_2+\cdots +x_pv_p=b$$

是否有解，或等价地，判断增广矩阵为$\begin{bmatrix} v_1&v_2&\cdots &v_p&b \end{bmatrix}$的线性方程组是否有解.
  注意$Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$包含$v_1$的所有倍数，这是因为$cv_1=cv_1+0v_2+\cdots 0v_p$.特别地，它一定包含零向量.

$Span\lbrace v\rbrace$与$Span\lbrace u，v\rbrace$的几何解释

  设$v$是$\mathbb{R}^3$中的向量，那么$Span\lbrace v\rbrace$就是$v$的所有标量倍数的集合，也就是$\mathbb{R}^3$中通过$v$和$0$的直线上所有点的集合.
  若$u$和$v$是$\mathbb{R}^3$中的非零向量，$v$不是$u$的倍数，则$Span\lbrace u,v\rbrace$是$\mathbb{R}^3$中包含$u,v$和$0$的平面.特别地，$Span\lbrace u,v\rbrace$包含$\mathbb{R}^3$中通过$u$和$0$的直线，也包含通过$v$与$0$的直线.

例3 设$a_1=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ 3 \\ \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 5 \\ -13 \\ -3 \\ \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} -3 \\ 8 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$，则$Span\lbrace a_1,a_2\rbrace$是$\mathbb{R}^3$中通过原点的一个平面，问$b$是否在该平面内？
方程$x_1a_1+x_2a_2=b$是否有解，把增广矩阵$\begin{bmatrix} a_1&a_2&b \end{bmatrix}$进行化简：
          $\begin{bmatrix}
1&5&-3 \\
-2&-13&8 \\
3&-3&1
\end{bmatrix} \backsim
\begin{bmatrix}
1&5&-3 \\
0&-3&2 \\
0&-18&10
\end{bmatrix} \backsim
\begin{bmatrix}
1&5&-3 \\
0&-3&2 \\
0&0&-2
\end{bmatrix}
$
第3个方程为$0=-2$，说明方程组无解.向量方程$x_1a_1+x_2a_2=b$无解，故$b$不属于$Span\lbrace a_1,a_2\rbrace$.